面向程序员的数据挖掘指南（八）

第八章：聚类

前几章我们学习了如何构建分类系统，使用的是已经标记好类别的数据集进行训练：

训练完成后我们就可以用来预测了：这个人看起来像是篮球运动员，那个人可能是练体操的;这个人三年内不会患有糖尿病。

可以看到，分类器在训练阶段就已经知道各个类别的名称了。那如果我们不知道呢?如何构建一个能够自动对数据进行分组的系统?比如有1000人，每人有20个特征，我想把这些人分为若干个组。

这个过程叫做聚类：通过物品特征来计算距离，并自动分类到不同的群集或组中。有两种聚类算法比较常用：

k-means聚类算法

我们会事先告诉这个算法要将数据分成几个组，比如“请把这1000个人分成5个组”，“将这些网页分成15个组”。这种方法就叫k-means，我们会在后面的章节讨论。

层次聚类法

对于层次聚类法，我们不需要预先指定分类的数量，这个算方法会将每条数据都当作是一个分类，每次迭代的时候合并距离最近的两个分类，直到剩下一个分类为止。因此聚类的结果是：顶层有一个大分类，这个分类下有两个子分类，每个子分类下又有两个子分类，依此类推，层次聚类也因此得命。

在合并的时候我们会计算两个分类之间的距离，可以采用不同的方法。如下图中的A、B、C三个分类，我们应该将哪两个分类合并起来呢?

单链聚类

在单链聚类中，分类之间的距离由两个分类相距最近的两个元素决定。如上图中分类A和分类B的距离由A1和B1的距离决定，因为这个距离小于A1到B2、A2到B1的距离。这样一来我们会将A和B进行合并。

全链聚类

在全链聚类中，分类之间的距离由两个分类相距最远的两个元素决定。因此上图中分类A和B的距离是A2到B2的距离，最后会将分类B和C进行合并。

平均链接聚类

在这种聚类方法中，我们通过计算分类之间两两元素的平均距离来判断分类之间的距离，因此上图中会将分类B和C进行合并。

下面让我们用单链聚类法举个例子吧!

我们来用狗的高度和重量来进行聚类：

在计算距离前我们是不是忘了做件事?

标准化!我们先将这些数据转换为修正的标准分。

然后我们计算欧几里德距离，图中高亮了一些最短距离：

根据下面的图表，你能看出哪两个品种的距离最近吗?

如果你看出是Border Collie和Portuguese Water Dog最近，那就对了!

计算过程

第一步：我们找到距离最近的两个元素，对他们进行聚类：

第二步：再找出距离最近的两个元素，进行聚类：

第三步：继续重复上面的步骤：

第四步：继续查找距离最近的元素，发现Border Collie已经属于一个分类的，因此进行如下图所示的合并：

这叫树状图，可以用来表示聚类。

动手实践

你能在下图的基础上继续完成聚类吗?

解答

编写层次聚类算法

• 我们可以使用优先队列来实现这个聚类算法。

• 什么是优先队列呢?

普通的队列有“先进先出”的规则，比如向队列先后添加Moa、Suzuka、Yui，取出时得到的也是Moa、Suzuka、Yui：

而对于优先队列，每个元素都可以附加一个优先级，从队列中取出时会得到优先级最高的元素。比如说，我们定义年龄越小优先级越高，以下是插入过程：

取出的第一个元素是Yui，因为她的年龄最小：

我们看看Python中如何使用优先队列：

在进行聚类时，我们将分类、离它最近的分类、以及距离插入到优先队列中，距离作为优先级。比如上面的犬种示例，Border Collie最近的分类是Portuguese WD，距离是0.232：

我们将优先队列中距离最小的两个分类取出来，合并成一个分类，并重新插入到优先队列中。比如下图是将Border Collie和Portuguese WD合并后的结果：

重复这个过程，直到队列中只有一个元素为止。当然，我们插入的数据会复杂一些，请看下面的讲解。

从文件中读取数据

数据文件是CSV格式的(以逗号分隔)，第一行是列名，第一列是犬种，第二列之后是特征值：

我们用Python的列表结构来存储这些数据，data[0]用来存放所有记录的分类，如data[0][0]是Border Collie，data[0][1]是Boston Terrier。data[1]则是所有记录的高度，data[2]是重量。特征列的数据都会转换成浮点类型，如data[1][0]是20.0，data[2][0]是45.0等。在读取数据时就需要对其进行标准化。此外，我们接下来会使用“下标”这个术语，如第一条记录Border Collie的下标是0，第二条记录Boston Terrier下标是1等。

初始化优先队列

以Border Collie为例，我们需要计算它和其它犬种的距离，保存在Python字典里：

此外，我们会记录Border Collie最近的分类及距离：这对犬种是(0, 8)，即下标为0的Border Collie和下标为8的Portuguese WD，距离是0.232。

距离相等的问题以及为何要使用元组

你也许注意到了，Portuguese WD和Standard Poodle的距离是0.566，Boston Terrier和Brittany Spaniel的距离也是0.566，如果我们通过最短距离来取，很可能会取出Standard Poodle和Boston Terrier进行组合，这显然是错误的，所以我们才会使用元组来存放这对犬种的下标，以作判断。比如说，Portuguese WD的记录是：

它的近邻Standard Poodle的记录是：

我们可以通过这个元组来判断这两条记录是否是一对。

距离相等的另一个问题

在介绍优先队列时，我用了歌手的年龄举例，如果他们的年龄相等，取出的顺序又是怎样的呢?

可以看到，如果年龄相等，优先队列会根据记录中的第二个元素进行判断，即歌手的姓名，并按字母顺序返回，如Avaka会比Moa优先返回。

在犬种示例中，我们让距离成为第一优先级，下标成为第二优先级。因此，我们插入到优先队列的一条完整记录是这样的：

重复下述步骤，直到仅剩一个分类

我们从优先队列中取出两个元素，对它们进行合并。如合并Border Collie和Portuguese WD后，会形成一个新的分类：

然后我们需要计算新的分类和其它分类之间的距离，方法是对取出的两个分类的距离字典进行合并。如第一个分类的距离字段是distanceDict1，第二个分类的是distanceDict2，新的距离字段是newDistanceDict：

经过计算后，插入到优先队列中的新分类的完整记录是：

代码实践

你能将上面的算法用Python实现吗?你可以从hierarchicalClustererTemplate.py这个文件开始，完成以下步骤：

编写init方法，对于每条记录：

• 计算该分类和其它分类之间的欧几里得距离;

• 找出该分类的近邻;

• 将这些信息放到优先队列的中。

编写cluster方法，重复以下步骤，直至剩下一个分类：

• 从优先队列中获取两个元素;

• 合并;

• 将合并后的分类放回优先队列中。

解答

注意，我的实现并不一定是最好的，你可以写出更好的!

运行结果和我们手算的一致：

动手实践

这里提供了77种早餐麦片的营养信息，包括以下几项：

1. 麦片名称

2. 热量

3. 蛋白质

4. 脂肪

5. 纳

6. 纤维

7. 碳水化合物

8. 糖

9. 钾

10. 维生素

请对这个数据集进行层次聚类：

• 哪种麦片和Trix最相近?

• 与Muesli Raisins & Almonds最相近的是?

数据集来自：http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/Cereals.html

结果

我们只需将代码中的文件名替换掉就可以了，结果如下：

因此Trix和Fruity Pebbles最相似(你可以去买这两种麦片尝尝)。Muesli Raisins & Almonds和Muesli Peaches & Pecans最相似。

好了，这就是层次聚类算法，很简单吧!

k-means聚类算法

使用k-means算法时需要指定分类的数量，这也是算法名称中“k”的由来。

k-means是Lloyd博士在1957年提出的，虽然这个算法已有50年的历史，但却是当前最流行的聚类算法!

下面让我们来了解一下k-means聚类过程：

1. 我们想将图中的记录分成三个分类(即k=3)，比如上文提到的犬种数据，坐标轴分别是身高和体重。

2. 由于k=3，我们随机选取三个点来作为聚类的起始点(分类的中心点)，并用红黄蓝三种颜色标识。

3. 然后，我们根据其它点到中心点的距离来进行分配，这样就能将这些点分成三类了。

4. 计算这些分类的中心点，以此作为下一次计算的起始点。重复这个过程，直到中心点不再变动，或迭代次数超过某个阈值为止。

所以k-means算法可概括为：

1. 随机选取k个元素作为中心点;

2. 根据距离将各个点分配给中心点;

3. 计算新的中心点;

4. 重复2、3，直至满足条件。

我们来看一个示例，将以下点分成两个分类：

第一步 随机选取中心点

我们选取(1, 4)作为分类1的中心点，(4, 2)作为分类2的中心点;

第二步 将各点分配给中心点

可以用各类距离计算公式，为简单起见，这里我们使用曼哈顿距离：

聚类结果如下：

第三步 更新中心点

通过计算平均值来更新中心点，如x轴的均值是：

(1 + 1 + 2) / 3 = 4 / 3 = 1.33

y轴是：

(2 + 4 + 3) / 3 = 9 / 3 = 3

因此分类1的中心点是(1.33, 3)。计算得到分类2的中心点是(4, 2.4)。

第四步 重复前面两步

两个分类的中心点由(1, 4)、(4, 2)变为了(1.33, 3)、(4, 2.4)，我们使用新的中心点重新计算。

重复第二步 将各点分配给中心点

同样是计算曼哈顿距离：

新的聚类结果是：

重复第三步 更新中心点

• 分类1：(1.5, 2.75)

• 分类2：(4.5, 2.5)

重复第二步 将各点分配给中心点

重复第三步 更新中心点

• 分类1：(1.5, 2.75)

• 分类2：(4.5, 2.5)

可以看到中心点并没有改变，所以计算也就结束了。

当中心点不再变化时，或者说不再有某个点从一个分类转移到另一个分类时，我们就会停止计算。这个时候我们称该算法已经收敛。算法运行过程中，中心点的大幅转移是在前几次迭代中产生的，后面的迭代中变动的幅度就会减小。也就是说，k-means算法的重点是在前期迭代，而后期的迭代只是细微的调整。

基于k-means的这种特点，我们可以将“没有点发生转移”弱化成“少于1%的点发生转移”来作为计算停止条件，这也是最普遍的做法。

k-means好简单呀!

扩展阅读

k-means是一种最大期望算法，这类算法会在“期望”和“最大化”两个阶段不断迭代。比如k-means的期望阶段是将各个点分配到它们所“期望”的分类中，然后在最大化阶段重新计算中心点的位置。如果你对此感兴趣，可以前去阅读维基百科上的词条。

登山式算法

再继续讨论k-means算法之前，我想先介绍一下登山式算法。

假设我们想要登上一座山的顶峰，可以通过以下步骤实现：

1. 在山上随机选取一个点作为开始;

2. 向高处爬一点;

3. 重复第2步，直到没有更高的点。

这种做法看起来很合理，比如对于下图所示的山峰：

无论我们从哪个点开始攀登，最终都可以达到顶峰。

但对于下面这张图：

所以说，这种简单的登山式算法并不一定能得到最优解。

k-means就是这样一种算法，它不能保证最终结果是最优的，因为我们一开始选择的中心点是随机的，很有可能就会选到上面的A点，最终获得局部最优解B点。因此，最终的聚类结果和起始点的选择有很大关系。但尽管如此，k-means通常还是能够获得良好的结果的。

那我们如何比较不同的聚类结果呢?

误差平方和(SSE)

我们可以使用误差平方和(或称离散程度)来评判聚类结果的好坏，它的计算方法是：计算每个点到中心点的距离平方和。

上面的公式中，第一个求和符号是遍历所有的分类，比如i=1时计算第一个分类，i=2时计算第二个分类，直到计算第k个分类;第二个求和符号是遍历分类中所有的点;Dist指代距离计算公式(如曼哈顿距离、欧几里得距离);计算数据点x和中心点ci之间的距离，平方后相加。

假设我们对同一数据集使用了两次k-means聚类，每次选取的起始点不一样，想知道最后得到的聚类结果哪个更优，就可以计算和比较SSE，结果小的效果好。

下面让我们开始编程吧!

我们来分析一下这段代码。

犬种数据用表格来展示是这样的，身高和体重都做了标准化：

因为需要按列存储，转化后的Python格式是这样的：

我们在层次聚类中用的也是此法，这样做的好处是能够方便地应用不同的数学函数。比如计算中位数和计算标准分的函数，都是以列表作为参数的：

__init__函数首先将文件读入进来，按列存储，并进行标准化。随后，它会选取k个起始点，并将记录中的点分配给这些中心点。kCluster函数则开始迭代计算中心点的新位置，直到少于1%的点发生变动为止。

程序的运行结果如下：

聚类结果非常棒!

动手实践

用上面的聚类程序来对麦片数据集进行聚类，令k=4，并回答以下问题：

1. 甜味麦片都被聚类到一起了吗，如Cap’n’Crunch, Cocoa Puffs, Froot Loops, Lucky Charms?

2. 麸类麦片聚到一起了吗，如100% Bran, All-Bran, All-Bran with Extra Fiber, Bran Chex?

3. Cheerios被分到了哪个类别，是不是一直和Special K一起?

再来对加仑公里数的数据进行聚类，令k=8。运行结果大致令人满意，但有时候会出现记录数为空的分类。

我要求聚类成8个分类，但其中一个是空的，肯定代码有问题!

我们用示例来看这个问题，假设需要将以下8个点分成3个类别：

我们选取1、7、8作为起始点，因此第一次聚类的结果是：

随后，我们重新计算中心点，即下图中的加号：

这时，6离蓝色中心点较近，7离绿色中心点较近，因此粉色的分类就为空了。

所以说，虽然我们指定了k的值，但不代表最终结果就会有k个分类。这通常是好事，比如上面的例子中，看起来就应该要分成两类。如果有1000条数据，我们指定k=10，但结果有两个为空，那很有可能这个数据集本来就该分成8个类别，因此可以尝试用k=8来重新计算。

另一方面，如果你要求分类都不为空，那就需要改变一下算法：当发现空的分类时，就重新指定这个分类的中心点。一种做法是选取离这个中心点最远的点，比如上面的例子中，发现粉色分类为空，就将中心点变为点1，因为它离粉色中心点最远。

k-means++

前面我们提到k-means是50年代发明的算法，它的实现并不复杂，但仍是现今最流行的聚类算法。不过它也有一个明显的缺点。在算法一开始需要随机选取k个起始点，正是这个随机会有问题。有时选取的点能产生最佳结果，而有时会让结果变得很差。k-means++则改进了起始点的选取过程，其余的和k-means一致。

以下是k-means++选取起始点的过程：

1. 随机选取一个点;

2. 重复以下步骤，直到选完k个点：

3. 计算每个数据点(dp)到各个中心点的距离(D)，选取最小的值，记为D(dp);

4. 根据D(dp)的概率来随机选取一个点作为中心点。

我们来讲解一下何为“根据D(dp)的概率来随机选取”。假设选取过程进行到一半，已经选出了两个点，现在需要选第三个。假设还有五个点可供选择，它们离已有的两个中心点的距离是：

Dc1表示到中心点1的距离，Dc2表示到中心点2的距离。

我们选取最小的距离：

然后将这些数值转化成总和为1的权重值，做法就是将每个距离除以距离的和(20)，得到：

我们可以通过转盘游戏来理解：

比如我们扔个球到这个转盘里，它停在哪个颜色就选取这个点作为新的中心点。这就叫做“根据D(dp)的概率来随机选取”。

比如我们有以下Python数据：

然后来编写一个函数来完成选取过程：

如果这个函数运行正确，我们选取100次的话，其中25次应该是dp1，40次是dp2，10次是dp3，15次是dp4，10次是dp5。让我们来测试一下：

结果是符合预期的!

k-means++选取起始点的方法总结下来就是：第一个点还是随机的，但后续的点就会尽量选择离现有中心点更远的点。

好了，下面让我们开始写代码吧!

代码实践

你能用Python实现k-means++算法吗?k-means++和k-means的唯一区别就是起始点的选取过程，你需要做的是将下面的代码：

替换为：

你的任务就是编写这个函数!

解答

安然事件

你应该还对这件事有些印象吧?安然公司曾是一家超大型企业，有着千亿元的收入和两万名员工(微软只有220亿收入)。由于管理体制的破败和受贿，包括人为制造能源危机致使加州大停电，安然公司最终面临破产，大批人员被判入狱。有一部名为“The Smartest Guys in the Room”的纪录片，读者可以到Netflix或亚马逊上观看。

安然事件的确挺有趣的，不过这和数据挖掘有什么关系呢?

在调查过程中，美国联邦能源管理委员会收获了60万封公司内部邮件。这些邮件可以从网络上下载： >

https://www.cs.cmu.edu/~./enron/

我们来用其中的一小部分数据来举例，下表整理了一些公司人员互通邮件的次数：

可以在这里下载缩减后的数据集。完整的数据在这里，超过300MB。

动手实践

你能使用层次聚类算法将这些人分成若干类别吗?

解答

我们会通过两个人收发邮件的对象来计算相似度。比如我经常和Ann、Ben、Clara等人通信，你也一样，那么我俩就是相似的：

但如果将你我之间的通信也计算进去：

可以看到，你向我发送了190次邮件，而我只向自己发送了2封邮件。用欧几里得距离来计算的话，在不包含me和you这两列时，我们的距离是46，包含后距离是269!因此在计算两人的距离时需要排除这个因素：

得到的层次聚类结果是：

我还用k-means++算法进行了聚类，结果是：

这些结果很有趣，比如分类5中大都是贸易人员，分类7中则多是管理层。

安然数据中还能挖掘出很多有趣的模式，去下载完整的数据集进行尝试吧!

你也可以对其它数据集进行聚类，看看是否有新的发现。

最后，恭喜完成第八章的学习!